Noprianikurniati's Blog

makalah Persamaan diferensial

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu variabel atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde. Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu. Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu dimodelkan oleh fungsi matematika dan laju perubahannya dinyatakan sebagai turunan diketahui atau dipostulatkan.

Ini terlihat misalnya pada mekanika klasik, di mana gerakan sebuah benda diberikan oleh posisi dan kecepatannya terhadap waktu. Hukum Newton memungkinkan kita mengetahui hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai gaya yang bertindak terhadap benda tersebut, dan menyatakannya sebagai persamaan diferensial posisi sebagai fungsi waktu. Dalam banyak kasus, persamaan diferensial ini dapat dipecahkan secara eksplisit, dan menghasilkan hukum gerak.

Contoh pemodelan masalah dunia nyata menggunakan persamaan diferensial adalah penentuan kecepatan bola yang jatuh bebas di udara, hanya dengan memperhitungkan gravitasi dan tahanan udara. Percepatan bola tersebut ke arah tanah adalah percepatan karena gravitasi dikurangi dengan perlambatan karena gesekan udara. Mencari kecepatan sebagai fungsi waktu mensyaratkan pemecahan sebuah persamaan diferensial.

Teori persamaan diferensial sudah cukup berkembang, dan metode yang digunakan bervariasi sesuai jenis persamaan. Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut.

Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial. Orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan diferensial biasa, namun klasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik, dan parabolik, terutama untuk persamaan diferensial linear orde dua, sangatlah penting. Beberapa pesamaan diferensial parsial tidak dapat digolongkan dalam kategori-kategori tadi, dan dinamakan sebagai jenis campuran.

Baik persamaan diferensial biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier atau nonlinier. Sebuah persamaan diferensial disebut linier apabila fungsi yang tidak diketahui dan turunannya muncul dalam pangkat satu (hasilkali tidak dibolehkan). Bila tidak memenuhi syarat ini, persamaan tersebut adalah nonlinier.

Melihat seberapa besar penting  persamaan diferensial dari berbagai macam  ilmu, baik dalam bidang SAINS maupun teknologi.  Maka kami menulis makalah yang berjudul persamaan diferensial linear orde satu. Tidak hanya itu makalah ini dibuat sebagai salah satu kelengkapan mengikuti mata kuliah persamaan diferensial biasa yang telah ditugaskan oleh dosen pengasuh mata kuliah tersebut.

1.2 RUMUSAN MASALAH

Berdasarkan latar belakang masalah agar penguraian makalah lebih terarah dan terfokus maka rumusan masalahnya adalah ” apa yang dimaksud dengan persamaan diferensial linear orde satu ? dan bagaimana cara penyelesaian permasalahan persamaan diferensial linear orde satu? ”

1.3 TUJUAN PENULISAN MAKALAH

Penulisan makalah ini bertujuan untuk menginformasikan kepada  pembaca, khususnya bagi mahasiswa program studi pendidikan matematika semester VII, tentang persamaan diferensial linear orde satu.. Diharapkan dengan makalah ini dapat menambah wawasan para mahasiswa dalam mengikuti mata kuliah persamaan diferensial biasa.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR

2.1.1 Bentuk Umum Persamaan Diferensial Linear

Suatu persamaan diferensial linear ( dengan x adalah peubah bebas dan y adalah peubah tak bebas ) adalah salah satu bentuk dari persamaan :

Jadi persamaan diferensial linear adalah persamaan yang mengandung turunan tingkat satu yaitu turunan dengan satu peubah bebas.

2.1.2 Kriteria Persamaan Diferensial Linear

Adapun kriteria – kriteria persamaan diferensial linear antara lain :

(I)                Tidak terdapat fungsi transeden ( trigonometri , logaritma dan eksponen )  dalam peubah tak bebas ( y )

(II)             Tidak terdapat perkalian antara peubah tak bebas (y) dengan turunanya.

(III)          Peubah tak  bebas ( y ) dan turunanya paling tinggi berpangkat satu

Sebagai contoh, perhatikan persamaan diferensial berikut :

a.              ( tidak linear, karena terdapat pangkat 2 dari y )

b.                ( tidak linear, karena terdapat fungsi transeden cot t )

c.                      ( tidak linear, karena terdapat perkalian dan  )

d.                ( tidak linear, karena terdapat pangkat 2 pada y )

e.               ( linear, memenuhi kriteria )

f.            ( linear, memenuhi kriteria  )

g. e.         ( linear, memenuhi kriteria. Walau mempunyai fungsi eksponen, akan tetapi fungsi eksponennya terdapat dalam peubah bebas )

h.     ( linear, memenuhi kriteria. Walau mempunyai fungsi eksponen, akan tetapi fungsi eksponennya terdapat dalam peubah bebas )

2.2 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU

2.2.1 Bentuk Umum Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

Suatu persamaan linear orde satu adalah suatu persamaan yang berbentuk :

…………………………….( 1)

Dimana koefisien – koefisien dari   dan  fungsi adalah fungsi – fungsi yang kontinu pada susatu selang I dan bahwa koefisien untuk semua x dalam I.

Jika kedua ruas  persamaan ( 1 ) dibagi dengan , dimana :

dan  maka diperoleh :

Jadi persamaan linear orde satu juga dapat berbentuk :

…………………………………. (2)

2.2.2 Teorema Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

Teorema :

Jika dan  adalah fungsi – fungsi  kontinu pada selang I, maka penyelesaian umum persamaan diferensial :

akan berbentuk :

2.2.3 Penyelesaian Persamaan Diferensial  Linear  Orde  Satu

a. Penyelesaian umum

Penyelesaian umum persamaan diferensial linear orde satu ( ) dapat dicari secara eksplisit dengan memperhatikan peubahan peubah   memetakan persamaan   kedalam persamaan diferensial terpisah. Dengan mengingat bahwa  maka :

Catatan :

Dari penyelesaian diatas dapat disimpulkan bahwa penyelesaian persamaan diferensial linear orde satu dapat melalui tiga langkah. Adapun  langkah – langkahnya antara lain :

Langkah 1 : Mengalikan kedua ruas persamaan   oleh , sehingga diperoleh :

…………………………( 3 )

Langkah 2 : Mengintegralkan kedua ruas persamaan ( 3 ), sehingga diperoleh :

………………………(4)

Langkah 3 : Membagi kedua ruas persmaan ( 4 ) oleh , sehingga dihasilkan :

à merupakan penyelesain umum persamaan diferensial linear orde satu.

b. Cara Bernaulli

Misalkan

u,v masing – masing fungsi dari x.

Maka persamaan menjadi :

Syarat ambil  atau …… (5)

Maka :  atau Sehingga,

Persamaan ( 5 ) menjadi :

2.2.4 Contoh Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

Soal :

1. Tentukan apakah persamaan diferensial berikut termasuk persamaan diferensial linear orde satu ?

a.

b.

c.

d.

e.

2. Tentukan solusi persamaan diferensial linear orde satu berikut ini :

a.

b.

Penyelesaian :

1.         a. persamaan diferensial linear orde satu

b. persamaan diferensial linear orde satu

c. bukan persamaan diferensial linear orde satu

d. bukan persamaan diferensial linear orde satu

e. persamaan diferensial linear orde satu

2. a. , dari persamaan diperoleh = -1, sehingga . Solusi umum  persamaan diferensial tersebut adalah :

b. , dari persamaan diperoleh = 3, sehingga . Solusi    umum persamaan diferensial tersebut adalah :

2.3 MASALAH NILAI AWAL PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU

Sebelumnya telah dibahas bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial linear orde satu. Sekarang akan diberikan teorema penting masalah nilai awal persamaan diferensial linear orde satu.

Teorema :

Jika fungsi a(x) dan b(x) kontinu pada interval yang mengandung maka ada fungsi tunggal y(x) yang memenuhi persamaan diferensial pada interval tersebut, dan juga memenuhi syarat awal  dengan  adalah suatu nilai awal yang telah ditentukan.

Contoh :

Tentukan solusi masalah nilai awal :

Penyelesaian :

Dari persamaan diperoleh a = 2.

Substitusikan x = 0 dan y = 3 ke , diperoleh c =2

Jadi solusi masalah nilai awal tersebut : .

SOAL LATIHAN :

1. Tentukan apakah persamaan diferensial berikut termasuk persamaan diferensial linear orde satu ?

a.

b.

2. Tentukan solusi persamaan diferensial linear orde satu berikut ini :

a.

b.

3. Tentukan solusi masalah nilai awal berikut :  dengan  ?

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu. Teori persamaan diferensial sudah cukup berkembang, dan metode yang digunakan bervariasi sesuai jenis persamaan. Persamaan diferensial terbagi menjadi dua yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial.

Didalam persamaan diferensial biasa, dipelajari tentang konsep persamaan diferensial linear dan Persamaan diferensial linear orde satu.  Persamaan diferensial linear adalah persamaan yang mengandung turunan tingkat satu yaitu turunan dengan satu peubah bebas. Sedangkan Persamaan diferensial linear orde satu adalah persamaan yang mengandung turunan tingkat satu dimana turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tersebut adalah satu.

Bentuk persamaan diferensial linear

Bentuk persamaan diferensial linear orde satu

Persamaan diferensial sangat menarik dipelajari, karena persamaan diferensial memegang peranan penting dalam berbagai macam ilmu. Oleh karena itu sangatlah penting bagi kita untuk memahami persamaan diferensial, khususnya persamaan diferensial linear orde satu.

3.2 Saran

Sebaiknya kita harus memahami dan mengerti tentang persamaan diferensial linear orde satu baik dari bentuk umumnya sampai pada penyelesaiannya. Karena dengan menguasai  persamaan diferensial linear orde satu, kita akan lebih mudah menyelesaikan permasalahan dalam persamaan diferensial biasa. Selain itu, kita juga harus paham tentang teknik – teknik turunan maupun teknik pengintegralan yang pernah dipelajari pada mata kuliah kalkulus sebelumnya. Hal ini agar dapat mempermudah dalam menyelesaikan soal – soal persamaan diferensial biasa, karena dalam persamaan diferensial sangat berkaitan dengan turunan dan integral.

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU

KELOMPOK 3 :

Ketua Kelompok                   : Zefrian                                 ( 332006027 )

Moderator                              : Khilwan Muhaimin ( 332006002 )

Penulis                                    : Ayu Dian                             ( 332006024 )

Pemateri                                 : Nopriani Kurniati               ( 332006011 )

Teti Rismanasari                 ( 332006018 )

Penjawab soal                        : Maria Luthfiana                 ( 332006017 )

Semester / Kelas                     : VII / A

Dosen Pengasuh                    : Nyimas Indah Kusumawati, M.Si.

Mata Kuliah                           : Persamaan Diferensial Biasa

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMMADIYAH PALEMBANG

2009 / 2010

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kami ucapkan kepada Allah SWT, karena berkat rahmat dan hidayah-Nya kami dapat menyelesaikan makalah ini. Makalah ini membahas tentang  persamaan diferensial linear orde satu.

Dalam penulisan makalah ini kami telah banyak mendapatkan bantuan dari berbagai pihak, baik dari guru-guru maupun dari teman-teman. Oleh karena itu melalui kesempatan ini kami mengucapkan terima kasih kepada Ibu Nyimas Indah Kusumawati, M.Si yang telah memberikan pengarahan dalam pembuatan makalah ini dan pihak-pihak yang telah membantu kami baik secara materil maupun spiritual.

Kami sadar makalah ini masih banyak kekurangan baik dari segi isi, bahasa maupun penulisannya. Oleh karena itu kami mengharapkan kritikan, masukan, dan saran yang dapat membangun demi penyempurnaan penulisan makalah-makalah berikutnya. Semoga makalah ini dapat memberikan manfaat kepada pembaca terutama bagi penulis sendiri sebagai salah satu upaya perbaikan dalam proses pembelajaran yang berdampak pada peningkatan mutu pendidikan.

Palembang,  Oktober  2009

Tim Penulis

ii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL…………………………………………………………………………………. i

KATA PENGANTAR………………………………………………………………………………. ii

DAFTAR ISI…………………………………………………………………………………………… iii

BAB I        PENDAHULUAN

1.1.    Latar Belakang Masalah……………………………………………………………………….. 1

1.2.    Rumusan Masalah……………………………………………………………………………….. 3

1.3.    Tujuan Penulisan Makalah……………………………………………………………………. 3

BAB II       PEMBAHASAN

2.1 Persamaan Diferensial Linear

2.1.1 Bentuk Umum Persamaan Diferensial Linear…………………………………………. 4

2.1.2 Kriteria Persamaan Diferensial Linear…………………………………………………… 4

2.2 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

2.2.1 Bentuk Umum Persamaan diferensial Linear Orde Satu…………………….        5

2.2.2 Teorema Persamaan Diferensial Linear Orde Satu………………………………….. 5

2.2.3 Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu…………………………….. 6

2.2.4 Contoh Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu ………………… 8

2.3 Masalah Nilai Awal Persamaan Diferensial Linear Orde Satu ……….. ……. 9

BAB III     PENUTUP

3.1.    Kesimpulan………………………………………………………………………………….. ….. 12

3.2.    Saran……………………………………………………………………………………………….. 12

DAFTAR PUSTAKA

iii

DAFTAR PUSTAKA

Santoso, Widiarti. 1988. Persamaan Diferensial Biasa Dengan Penerapan Modern. Jakarta : Eralangga.

Suderajat, Sueb. 1980. Persamaan Diferensial Materi Pokok  Modul 4 – 5. Jakarta Karunia UT.

Ratna, Lily. 1999. Persamaan Diferensial Dalam Satuan Si. Jakarta : Erlangga.

Hardiana, heris. 2001. Persamaan Diferensial. Bandung : CV. Pustaka Setia.

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL…………………………………………………………………………………. i

KATA PENGANTAR………………………………………………………………………………. ii

DAFTAR ISI…………………………………………………………………………………………… iii

BAB I        PENDAHULUAN

1.4.    Latar Belakang Masalah……………………………………………………………………….. 1

1.5.    Rumusan Masalah……………………………………………………………………………….. 3

1.6.    Tujuan Penulisan Makalah……………………………………………………………………. 3

BAB II       PEMBAHASAN

2.1 Persamaan Diferensial Linear

2.1.1 Bentuk Umum Persamaan Diferensial Linear…………………………………………. 4

2.1.2 Kriteria Persamaan Diferensial Linear…………………………………………………… 4

2.2 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

2.2.1 Bentuk Umum Persamaan diferensial Linear Orde Satu…………………….        5

2.2.2 Teorema Persamaan Diferensial Linear Orde Satu………………………………….. 5

2.2.3 Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu…………………………….. 6

2.2.4 Contoh Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu ………………… 8

2.3 Masalah Nilai Awal Persamaan Diferensial Linear Orde Satu ……….. ……. 9

BAB III     PENUTUP

3.3.    Kesimpulan………………………………………………………………………………………. 12

3.4.    Saran……………………………………………………………………………………………….. 13

DAFTAR PUSTAKA

iii

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: